\(\text{a) }cos^2x+sin2x-1=0\\ \Leftrightarrow2sinx\cdot cosx-sin^2x=0\\ \Leftrightarrow sinx\left(2cosx-sinx\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\sinx=2cosx\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\tanx=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=a\pi\\x=arctan\left(2\right)+b\pi\end{matrix}\right.\)

\(\text{b) }\sqrt{3}sin2x+cos^4x-sin^4x=\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow\sqrt{3}sin2x+\left(cos^2x-sin^2x\right)\left(cos^2x+sin^2x\right)=\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot sin2x+\frac{1}{2}\cdot cos2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow cos\frac{\pi}{6}\cdot sin2x+sin\frac{\pi}{6}\cdot cos2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow cos\frac{\pi}{6}\cdot sin2x+sin\frac{\pi}{6}\cdot cos2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=sin\frac{\pi}{4}\\ \\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}+a2\pi\\2x+\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{4}+b2\pi\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{24}+a\pi\\x=\frac{7\pi}{24}+b\pi\end{matrix}\right.\)

\(c\text{) }cos^2x-sin^2x=\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\ \Leftrightarrow cos^2x-sin^2x=\sqrt{2}\left(sinx\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+cosx\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ \Leftrightarrow\left(cosx-sinx\right)\left(sinx+cosx\right)=sinx+cosx\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx-sinx=1\\sinx=-cosx\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos^2x+\left(cosx-1\right)^2=1\\tanx=-1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\cosx=1\\tanx=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+a\pi\\x=b2\pi\\x=\frac{3\pi}{4}=c\pi\end{matrix}\right.\)

\(d\text{) }4\left(sin^4x+cos^4x\right)+\sqrt{3}sin4x=2\\ \Leftrightarrow4\left(1-2sin^2x\cdot cos^2x\right)+\sqrt{3}sin4x=2\\ \Leftrightarrow-8sin^2x\cdot cos^2x+\sqrt{3}sin4x=-2\\ \Leftrightarrow-2sin^22x+\sqrt{3}sin4x=-2\\ \Leftrightarrow cos4x-1+\sqrt{3}sin4x=-2\\ \Leftrightarrow\frac{1}{2}cos4x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin4x=-\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow sin\frac{\pi}{6}\cdot cos4x+cos\frac{\pi}{6}\cdot sin4x=-\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow sin\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)=sin\frac{-\pi}{6}\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x+\frac{\pi}{6}=\frac{-\pi}{6}+a2\pi\\4x+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}+b2\pi\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{-\pi}{12}+\frac{a\pi}{2}\\x=\frac{\pi}{4}+\frac{b\pi}{2}\end{matrix}\right.\)

\(e\text{) }4sinx\cdot cosx\cdot cos2x+cos4x=\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow sin4x+cos4x=\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow sin4x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}cos4x=1\\ \Leftrightarrow sin4x\cdot cos\frac{\pi}{4}+cos4x\cdot sin\frac{\pi}{4}=1\\ \Leftrightarrow sin\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=1=sin\frac{\pi}{2}\\ \Leftrightarrow4x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\ \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{2}\)

Pt vô nghiệm

a) \(B=\dfrac{sin^4x-cos^4x+cos^2x}{2\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)}\)

\(B=\dfrac{\left(sin^2x\right)^2-\left(cos^2x\right)^2+cos^2x}{2\left(1-cos^2x\right)}\)

\(B=\dfrac{\left(sin^2x-cos^2x\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)+cos^2x}{2\left(sin^2x+cos^2x-cos^2x\right)}\)

\(B=\dfrac{sin^2x-cos^2x+cos^2x}{2sin^2x}=\dfrac{sin^2x}{2sin^2x}=\dfrac{1}{2}\)

b) \(\dfrac{1+sin2x-cos2x}{1+sin2x+cos2x}=tanx\)

\(VT=\dfrac{1+2sinx.cosx-\left(1-2sin^2x\right)}{1+2sinx.cosx+2cos^2x-1}\)

\(VT=\dfrac{1+2sinx.cosx-1+2sin^2x}{2sinx.cosx+2cos^2x}\)

\(VT=\dfrac{2sinx.cosx+2sin^2x}{2sinx.cosx+2cos^2x}\)

\(VT=\dfrac{2sinx\left(cosx+sinx\right)}{2cosx\left(sinx+cosx\right)}=\dfrac{sinx}{cosx}=tanx=VP\) ( đpcm )

p/s : sửa \(cos1x\rightarrow cos2x\)

1/ Để hàm số y = √cos^2(x) + cos(x) - 2m + 1 xác định trên R, ta cần điều kiện để biểu thức trong căn dương: cos^2(x) + cos(x ) - 2m + 1 > 0 Để giải phương trình này, ta sử dụng một số phép biến đổi: cos^2(x) + cos(x) - 2m + 1 = (cos(x) + 2)(cos(x) - m + 1) Điều kiện để biểu thức trên dương là: cos(x) + 2 > 0 và cos(x) - m + 1 > 0 Với cos(x) + 2 > 0, ta có -2 < cos( x) < 0 Với cos(x) - m + 1 > 0, ta có m - 1 < cos(x) < 1 Tổng Hàm, để hàm số y = √cos^2(x) + cos(x) - 2m + 1 xác định trên R, tham số m phải đáp ứng điều kiện -2 < cos(x) < 0 và m - 1 < cos(x) < 1. 2/ Để hàm số y = √cos^2(x) - 2cos(x) + m xác định trên R, ta cần điều kiện để biểu thức trong căn dương: cos^2(x) - 2cos(x) + m > 0 Đây là một phương trình bậc hai theo cos(x). Để giải phương trình này, ta sử dụng công thức delta: Δ = b^2 - 4ac Ở đây, a = 1, b = -2, c = m. Ta có: Δ = (-2)^2 - 4(1)(m) = 4 - 4m = 4(1 - m) Để phương trình có nghiệm thì Δ > 0. Tức là 1 - m > 0 hay m < 1. Tổng quát, để hàm số y = √cos^2(x) - 2cos(x) + m xác định trên R, tham số m phải đáp ứng m < 1. 3/ Để hàm số y = √sin^ 4 (x) + cos^4(x) - sin^2(x) - m xác định trên R, ta cần điều kiện để biểu thức trong căn dương: sin^4(x) + cos^4(x) - sin ^2(x) - m > 0 Đây cũng là một phương trình bậc hai theo sin(x). Ta sử dụng công thức delta as on, with a = 1, b = -1, c = -m. Δ = (-1)^2 - 4(1)(-m) = 1 + 4m = 4m + 1 Để phương trình có nghiệm thì Δ > 0. Tức là m > -1/4. Tổng quát, để hàm số y = √sin^4(x) + cos^4(x) - sin^2(x) - m xác định trên R, tham số m phải thỏa mãn m > -1/4.